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    Si te gustan los juegos de cartas, seguro que alguna vez has barajado una baraja y te has preguntado cuántas formas distintas hay de hacerlo. Puede parecer una pregunta trivial, pero la respuesta es sorprendente y revela algunos aspectos fascinantes de las matemáticas y la probabilidad.

    En este artículo te vamos a explicar cómo se calcula el número de combinaciones posibles de una baraja de cartas, qué significa ese número y por qué es tan importante para el juego y para la ciencia. Además, te vamos a dar algunos ejemplos y curiosidades que te harán ver las cartas con otros ojos.


    ¿Qué es una baraja de cartas?

    Una baraja de cartas es un conjunto de naipes o tarjetas, generalmente rectangulares, que tienen dos caras diferenciadas. Por el anverso o frente, contienen números, letras y/o dibujos que permiten identificarlas y diferenciarlas unas de otras dentro de cada baraja. Por el reverso o dorso, tienen todas un mismo diseño con el objeto de que no sea posible identificarlas.

    Existen diferentes tipos de barajas, según el origen, la cultura o el juego para el que se usan. Algunas de las más conocidas son la baraja española, la inglesa, la francesa o la de tarot. En este artículo nos vamos a centrar en la baraja más utilizada en el mundo occidental, que es la llamada baraja francesa o angloamericana.

    Esta baraja está compuesta por 52 cartas de cuatro palos: corazones (♥), diamantes (♦), picas (♠) y tréboles (♣). Cada palo tiene 13 cartas: las numéricas del 2 al 10 y las figuras: el as (A), la jota (J), la reina (Q) y el rey (K). Además, algunas barajas incluyen dos comodines o jokers, que son cartas especiales que pueden tener diferentes funciones según el juego.


    ¿Cómo se calcula el número de combinaciones posibles de una baraja?

    Para calcular el número de formas distintas en que se puede ordenar una baraja de cartas, tenemos que usar un concepto matemático llamado factorial. El factorial de un número n es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n. Por ejemplo, el factorial de 5 es 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

    El símbolo que se usa para representar el factorial es el signo de exclamación (!). Así, podemos escribir que 5! = 120. De forma general, podemos decir que n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1.

    ¿Y qué tiene que ver esto con las cartas? Pues resulta que el número de combinaciones posibles de una baraja de n cartas es igual al factorial de n. Es decir, si tenemos una baraja de 52 cartas, el número de formas distintas en que se puede ordenar es igual a 52!. Y si tenemos una baraja con los dos comodines, el número es igual a 54!.

    ¿Y cuánto vale eso? Pues mucho. Mucho más de lo que podemos imaginar. El factorial de 52 tiene 68 dígitos y se escribe así:

    52! = 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000

    Y el factorial de 54 tiene 71 dígitos y se escribe así:

    54! = 230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000

    Estos números son tan grandes que no tienen nombre propio en español. Para hacernos una idea, podemos compararlos con otros números muy grandes que sí tienen nombre, como los millones, los billones o los trillones.

    • Un millón tiene seis ceros y se escribe así: 1.000.000
    • Un billón tiene doce ceros y se escribe así: 1.000.000.000.000
    • Un trillón tiene dieciocho ceros y se escribe así: 1.000.000.000.000.000.000

    Como vemos, cada vez que pasamos de un nombre a otro, añadimos seis ceros. Así, podemos seguir con los cuatrillones, los quintillones, los sextillones, los septillones, los octillones y así sucesivamente.

    Siguiendo esta lógica, el factorial de 52 tendría que llamarse ochenta sextrillones (o sesenta y ocho trillones) y el factorial de 54 tendría que llamarse doscientos treinta septentrillones (o setenta y un trillones).

    Pero estos nombres no son muy útiles, porque no nos ayudan a comprender la magnitud de estos números. Para eso, necesitamos compararlos con otras cosas que podamos visualizar o medir.


    ¿Qué significa ese número y por qué es tan importante?

    El número de combinaciones posibles de una baraja de cartas es tan grande que supera nuestra capacidad de comprensión. Para intentar hacernos una idea, vamos a usar algunos ejemplos y curiosidades que nos harán ver las cartas con otros ojos.


    Cada barajada es única

    Una de las consecuencias más sorprendentes del número de combinaciones posibles de una baraja de cartas es que cada vez que barajamos una baraja, estamos creando un orden único e irrepetible, que con toda probabilidad nunca se ha dado ni se dará en la historia.

    Esto se debe a que el número de combinaciones posibles es mucho mayor que el número de veces que se ha barajado una baraja desde que existe. Para demostrarlo, vamos a hacer un cálculo muy generoso.

    Supongamos que la baraja francesa existe desde hace 500 años (en realidad es más antigua, pero vamos a redondear). Supongamos también que desde entonces hay 10.000 millones de personas en el mundo (en realidad son menos, pero vamos a exagerar). Supongamos además que cada persona tiene una baraja y la baraja una vez al día (en realidad no todo el mundo tiene una baraja ni la usa todos los días, pero vamos a simplificar).

    Con estas suposiciones, el número de veces que se ha barajado una baraja en toda la historia sería:

    500 x 365 x 10.000.000.000 = 1.825.000.000.000.000

    Este número tiene 15 dígitos y se podría llamar mil ochocientos veinticinco billones. Es un número muy grande, pero mucho menor que el número de combinaciones posibles de una baraja, que tiene 68 dígitos.

    Esto significa que la probabilidad de que dos barajadas sean iguales es prácticamente cero. Es decir, cada vez que mezclamos una baraja, estamos haciendo algo único en la historia.


    Un tiempo mayor que la edad del universo

    Otro ejemplo curioso para intentar comprender el número de combinaciones posibles de una baraja de cartas es compararlo con el tiempo. El tiempo es algo que medimos y experimentamos todos los días, pero también tiene sus límites y sus misterios.

    Para verlo, vamos a hacer otro cálculo muy generoso. Supongamos que podemos barajar una baraja una vez cada segundo. Es decir, cada segundo tenemos una forma distinta de ordenar la baraja. ¿Cuántos segundos tardaríamos en alcanzar todas las combinaciones posibles?

    Pues nada menos que:

    52! segundos = 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 segundos

    Este número tiene los mismos dígitos que el factorial de 52, pero está expresado en segundos. Es un tiempo tan grande que supera la edad del universo, que se estima en unos 13.800 millones de años.

    Esto significa que si empezáramos a barajar una baraja una vez cada segundo desde el principio de los tiempos, aún no habríamos alcanzado todas las combinaciones posibles. Aún nos quedarían muchas formas por usar.


    Conclusión

    Como hemos visto, el número de combinaciones posibles de una baraja de cartas es tan grande que supera nuestra capacidad de comprensión. Para intentar hacernos una idea, hemos usado algunos ejemplos y curiosidades que nos han mostrado lo sorprendente y fascinante que es este número.

    Esto implica que cada vez que barajamos una baraja, estamos creando un orden único e irrepetible, que con toda probabilidad nunca se ha dado ni se dará en la historia. Esto le da un toque mágico y misterioso al juego de las cartas, que nos invita a disfrutarlo con curiosidad y asombro.

    Pero además, este número tiene una gran importancia para el juego y para la ciencia. Para el juego, porque garantiza que cada partida sea diferente y aleatoria, lo que hace que sea más divertido y emocionante. Para la ciencia, porque permite estudiar fenómenos complejos y azarosos, como la criptografía, la estadística o la física cuántica.

    Así que la próxima vez que juegues a las cartas, recuerda que estás haciendo algo único en el universo, y que estás usando una herramienta matemática muy poderosa y bella.